1. 关节空间规划

1.1 三次多项式

1.1.1 约束

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1.1.2 为什么是三次

在机器人学中，三次多项式是最低阶次的“有实际物理意义”的平滑曲线。如果低于三次，物理上会出问题；如果高于三次，计算成本增加但未必带来质的飞跃。

为了讲透这一点，我们分三步来看：

1. 为什么不能是“一次”（线性）？

一次多项式是直线，位置连续，但速度是常数。起点和终点速度瞬间跳变（从0突变成V，再从V突变成0），这在物理上意味着加速度无穷大。
机械臂电机若按此执行，轻则剧烈抖动，重则直接报过载故障。所以一次不可用。

2. 为什么不能是“二次”？

二次多项式的速度是直线，加速度是常数。
虽然加速度有限了，但加速度在起点和终点依然是突变的（从0瞬间跳到某个常数，结束时瞬间归零）。这会产生加加速度（Jerk）无穷大，对减速机齿轮造成剧烈冲击。
更致命的是，二次多项式无法同时约束起点和终点的速度。因为二次只有3个系数，而约束条件有4个（起点位置、起点速度、终点位置、终点速度）。强行求解会导致方程组无解。所以二次不可用。

3. 为什么“三次”刚刚好？

三次多项式有 4个系数：( q(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 )

正好匹配4个边界条件：起点位置 ( q_0 )、起点速度 ( v_0 )、终点位置 ( q_1 )、终点速度 ( v_1 )。（通常 ( v_0 = v_1 = 0 )）
保证加加速度（Jerk）为常数：三次的位置曲线 → 二次的速度曲线 → 线性的加速度曲线 → 常数的加加速度。虽然加速度有突变（Jerk有限），但至少是有限值，在实际物理系统中，电机扭矩的响应延迟可以平滑掉这个有限突变。

结论：三次多项式是保证位置和速度连续的最低阶次。它第一次让机器人运动有了“物理可行性”（有限的加速度和有限的加加速度）。